Rappel mathématiques sur les nombres complexes

Les nombres complexes nous permettent d'utiliser les différentes lois vues en continu pour le régime sinusoïdale.
  • Un même nombre complexe peut être écrit de deux façons :
    • L'écriture algébrique :Z = a + j.b où a est la partie réelle et b la partie imaginaire du nombre complexe.
    • L'écriture polaire :Z=[ Z ; j ] où Z est le module et j l'argument de ce nombre complexe. j est un angle que l'on exprimera soit en radians, soit en degrés.

     

  • Relations de passage :

    Suivant les opérations à effectuer , il est préférable de travailler avec l'une ou l'autre des deux écritures. On doit donc être capable de passer de l'une à l'autre en utilisant les relations suivantes :

    • Passage de l'écriture algébrique à l'écriture polaire :


    j     = arc tan(b/a) 

    • Passage de l'écriture polaire à l'écriture algébrique :
       a = Z.cos(j)
      b = Z.sin(j)
Exercice :
Soit le nombre complexe U = 2+j.3 ; exprimer le en utilisant l'écriture polaire.

Réponse : U=[3,6 ; 0,98 rad] ou U=[3,6 ; 56,31°]

Soit le nombre complexe I = [7,07 ; 45°] ; exprimer le en utilisant l'écriture algébrique.
Réponse : I= 5 +j.5
  • Les opérations avec les nombres complexes :
    • L'addition et la soustraction : Il faut utiliser l'écriture algébrique.

    • ex : Si Z1  = 2+j.3   ;  Z2 = 5+j.5 ; alors Z1 + Z2 = (2+5) +j.(3+5) = 7+j.8
    (on additionne les parties réelles et les parties imaginaires)


    • La multiplication et la division :Il faut utiliser l'écriture  polaire.

ex: Si Z1 = [12 ; 30°] ;  Z2 =[ 0,1 ; 10°] ; alors Z1 . Z2 = [12 . 0,1 ; 30+10] = [ 1,2 ; 40°]
 (on multiplie les modules et on additionne les arguments)
et Z1 / Z2 = [12 / 0,1 ; 30-10] = [ 120 ; 20°]
(on divise les modules et on soustrait les arguments).

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